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ISSN 3078-6266 Revista
La losofía de las matemáticas: desde la ontología y
epistemología hasta la pedagogía escolar
The philosophy of mathematics: from ontology and epistemology to school
Juan Carlos Ruiz Castillo
Doctorado en Investigación en Educación
Universidad de San Carlos de Guatemala
2jcruiz@gmail.com
https://orcid.org/0000-0002-2218-1442
Resumen
OBJETIVO: abordar los fundamentos de la losofía de las matemáticas, la naturaleza y el
alcance del conocimiento matemático, explorando preguntas sobre la existencia de los objetos
matemáticos. MÉTODO: se empleó un enfoque analítico, crítico y se realizó un análisis losóco
de diversas ramas de las matemáticas, explorando cuestiones sobre la naturaleza, alcance y
aplicación. Se examinaron perspectivas ontológicas, epistemológicas, éticas y pedagógicas
para comprender el conocimiento matemático. RESULTADOS: se presentan resultados que
reejan una exploración losóca de las matemáticas, incluyendo discusiones sobre la ontología
matemática, la epistemología matemática, la lógica matemática, la losofía de las matemáticas
aplicadas, y la losofía de la computación y las matemáticas computacionales. Estos resultados
ofrecen una comprensión de las implicaciones losócas que rodean el estudio y la aplicación
de las matemáticas en diversos contextos. Al involucrarse con estas dimensiones losócas, los
matemáticos, educadores y cientícos computacionales pueden navegar el terreno complejo
de la investigación matemática con mayor perspicacia y aprecio por las amplias implicaciones
de su trabajo. CONCLUSIÓN: las corrientes losócas como el formalismo, el intuicionismo, el
platonismo, el constructivismo y el nominalismo ofrecen diferentes perspectivas sobre estos temas.
Este enfoque losóco enriquece la comprensión de las matemáticas desde múltiples ángulos,
permitiendo una exploración de la naturaleza y aplicaciones en diversos campos.
Recibido: 18/02/2024
Aceptado: 31/05/2024
Publicado: 30/06/2024
Palabras clave:
losofías de las matemáticas, matemáticas aplicadas, matemáticas computacionales,
matemáticas educativas
Ruiz Castillo, J. C. (2024). La losofía de las matemáticas: desde la
ontología y epistemología hasta la pedagogía escolar.
Revista Cientíca Avances en Ciencia y Docencia, 1(1), 37-46.
https://doi.org/10.70939/revistadiged.v1i1.4
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Keywords:
philosophies of mathematics, applied mathematics, computational mathematics, educational
mathematics
Introducción:
La losofía de las matemáticas se sumerge en indagaciones sobre la naturaleza y el fundamento
del conocimiento matemático, al explorar cuestiones cruciales que moldean la comprensión de
este campo. Dentro del ámbito interdisciplinario, se plantea la pregunta fundamental sobre la
existencia, naturaleza y justicación de los conceptos matemáticos, desaando la percepción
convencional de las matemáticas como una ciencia puramente práctica. El estudio de la losofía
de las matemáticas, también conocida como ontología matemática, epistemología y teoría de
la computación, entre otros, invita a reexionar sobre los cimientos losócos que sustentan el
entendimiento de esta disciplina.
En el desarrollo histórico de la losofía de las matemáticas, se han propuesto diversas corrientes de
pensamiento que analizan la naturaleza de los objetos matemáticos y la forma en que accedemos
al conocimiento matemático. Desde el platonismo, que postula la existencia independiente de
entidades matemáticas en un reino abstracto, hasta corrientes como el formalismo, el intuicionismo
y el constructivismo, cada una ofrece una perspectiva única sobre la estructura y validez de las
matemáticas. Estas posturas ontológicas han sido objeto de debate y reexión a lo largo del
tiempo, enriqueciendo la comprensión losóca de las matemáticas.
Para Sánchez (2021), la losofía de la matemática se ha propuesto enriquecer la percepción de
esta disciplina cientíca a partir de un análisis interno de sus conceptos y nociones, enfocándose
más en las ideas que sostienen y a veces cuestionan su base, que en formalizar sus aplicaciones
prácticas en el mundo real.
Abstrac
OBJECTIVE: to address the foundations of the philosophy of mathematics, the nature and
scope of mathematical knowledge, exploring questions about the existence of mathematical
objects. METHOD: An analytical, critical approach was used and a philosophical analysis of
various branches of mathematics was carried out, exploring questions about the nature, scope
and application. Ontological, epistemological, ethical and pedagogical perspectives were
examined to understand mathematical knowledge. RESULTS: Results are presented that reect
a philosophical exploration of mathematics, including discussions of mathematical ontology,
mathematical epistemology, mathematical logic, the philosophy of applied mathematics, and the
philosophy of computing and computational mathematics. These results oer an understanding of
the philosophical implications surrounding the study and application of mathematics in various
contexts. By engaging with these philosophical dimensions, mathematicians, educators, and
computer scientists can navigate the complex terrain of mathematical research with greater insight
and appreciation for the broad implications of their work. CONCLUSION: philosophical currents
such as formalism, intuitionism, platonism, constructivism and nominalism oer dierent perspectives
on these issues. This philosophical approach enriches the understanding of mathematics from
multiple angles, allowing an exploration of nature and applications in various elds.
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Materiales y métodos
Resultados y discusión
Se citan diversas fuentes académicas y textos especializados de losofía, matemáticas y edu-
cación que respaldan los argumentos presentados. Estos materiales incluyen investigaciones
académicas, citas de lósofos, matemáticos y educadores, así como libros y artículos relevantes
en el campo de la losofía de las matemáticas. En términos de métodos, se emplea un enfoque
analítico y crítico para explorar y examinar las diferentes corrientes de pensamiento en la lo-
sofía de las matemáticas. El enfoque interdisciplinario se destaca en el escrito, ya que se abor-
dan temas que cruzan límites tradicionales entre la losofía, las matemáticas, la educación y la
computación.
La exploración de las matemáticas se extiende más allá de sus aplicaciones prácticas y penetra
en los ámbitos de la losofía, donde se examinan preguntas fundamentales sobre la naturaleza,
existencia y justicación de los conceptos matemáticos. Este campo interdisciplinario, conocido
como la losofía de las matemáticas, se sumergen en indagaciones fundamentales que moldean
la comprensión del conocimiento matemático. Además, la losofía de las matemáticas aplicadas
investiga las implicaciones losócas de aplicar principios matemáticos a otras disciplinas,
mientras que la losofía de la computación y las matemáticas computacionales explora las
dimensiones losócas de la teoría y práctica computacional. Además, la losofía de la educación
matemática escudriña los aspectos losócos de enseñar y aprender matemáticas en contextos
educativos. En este discurso, se adentra en cada uno de estos dominios, arrojando luz sobre los
cimientos losócos que subyacen en el estudio y aplicación de las matemáticas.
Paralelamente, la epistemología matemática ha jugado un papel fundamental en la exploración de
cómo adquirimos conocimiento matemático y justicamos los resultados. A través de investigaciones
sobre la axiomatización, la demostración, la inducción matemática y la vericación empírica,
se ha cuestionado la naturaleza misma de la verdad matemática y la certeza de nuestros
resultados. Estas interrogantes epistemológicas han generado un intenso debate, contribuyendo
a la riqueza y complejidad del campo de la losofía de las matemáticas. Para Piñeiro (s.f.), en
la losofía contemporánea de la matemática, las opiniones predominantes se dividen en dos
categorías principales: realistas y antirrealistas. Estas categorías, a su vez, se aplican tanto a la
ontología como a la epistemología.
En el ámbito de la lógica matemática, se han explorado las reglas y estructuras del razonamiento
matemático, proporcionando un marco riguroso para estudiar la validez de los argumentos
matemáticos. La lógica formal, la teoría de modelos, la computabilidad y la teoría de la
demostración han arrojado luz sobre la estructura lógica inherente a las matemáticas y han
ampliado el entendimiento de las reglas subyacentes que rigen el pensamiento matemático. Estos
antecedentes losócos y lógicos se entrelazan para formar un tejido complejo que constituye
el campo de la losofía de las matemáticas.
Para Piñeiro (s.f.), una implicación lógica adicional de esta denición es que los objetos abstractos
son inmutables, lo que signica que es imposible que cualquier aspecto de su naturaleza se
altere de algún modo. En este artículo, el objetivo principal es abordar los fundamentos de la
losofía de las matemáticas, la naturaleza y el alcance del conocimiento matemático, explorando
preguntas sobre la existencia de los objetos matemáticos.
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Filosofía de las matemáticas
Ontología matemática
La Filosofía de las Matemáticas es una disciplina que reexiona sobre la ontología, epistemología,
desarrollo y métodos propios de las matemáticas. Dado que las matemáticas son una ciencia y
juegan un papel fundamental en las ciencias experimentales, podría considerarse que la Filosofía
de las Matemáticas forma parte de la Filosofía de la Ciencia. Sin embargo, la particularidad de
los objetos matemáticos —entidades abstractas como los números y las funciones— y la naturaleza
única del conocimiento matemático, que se percibe como necesario y a priori, sugieren que la
Filosofía de las Matemáticas constituye una rama losóca independiente (Cobreros, 2016).
El reto ontológico de la losofía de las matemáticas pluralista consiste en acomodar este tipo
de entidades dentro de una visión plural de la realidad, buscando explicar cómo se relacionan
con otras clases de entidades. En particular, se intenta esclarecer cómo es posible que estas
entidades matemáticas sean accesibles al conocimiento humano y de qué manera se vinculan
con entidades físicas, permitiendo su aplicación en el estudio de dichas realidades (Barceló,
2020).
El problema ontológico de los objetos matemáticos es el de establecer si esos objetos existen
independientemente en la mente humana, y, en caso de que así sea, qué clase de objetos
son. Tradicionalmente, el problema ontológico de la matemática ha estado estrechamente
relacionado con el problema epistemológico, es decir, con la cuestión de cómo es posible
conocer los objetos matemáticos (Piñeiro, 2019, p. 6).
Este es un tema complejo que ha generado diferentes perspectivas a lo largo de la historia de
la losofía de las matemáticas. Algunas de las principales posturas ontológicas:
Primero se puede señalar al Platonismo, esta perspectiva se basa en la idea de que los objetos
matemáticos existen de forma independiente en un reino abstracto o platónico. Según los
platonistas, los números, las formas geométricas, las funciones y otros objetos matemáticos son
entidades reales que existen fuera de la mente humana y del mundo físico. Los matemáticos
descubren estas verdades matemáticas en lugar de inventarlas.
Primero, Sánchez (2021) arma, que el platonismo, desde una perspectiva losóca y especulativa,
plantea interrogantes sobre la naturaleza de las matemáticas, proponiendo como posible
escenario la existencia y conrmación de ciertos objetos matemáticos, tales como números,
guras geométricas y funciones, que estructuran el conocimiento de esta ciencia abstracta (p.
5).
Segundo, los formalistas sostienen que los objetos matemáticos son construcciones puramente
formales que existen en el contexto de sistemas axiomáticos. Desde esta perspectiva, las
matemáticas son un juego de símbolos y reglas manipuladas según ciertas reglas predenidas,
pero no tienen una existencia independiente fuera del sistema formal. La verdad matemática es
relativa a un sistema de axiomas y reglas de inferencia.
Amarillo (s.f.), al modicar la concepción de formalización también se modicará la concepción de
demostración matemática asociada, más conocida como concepción sintáctica de demostración.
Con este procedimiento se vuelve mecánicamente decidible si una secuencia de fórmulas es
o no una demostración. Pero debe destacarse que esta concepción está fundamentalmente
asociada con un proyecto de fundamentos de la matemática, pero no con la intención de
describir la práctica demostrativa real (p. 3).
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Epistemología matemática
Se centra en cómo se adquiere conocimiento matemático y cómo se justican los resultados. Es un
área que ha generado un intenso debate entre los lósofos y los matemáticos a lo largo del tiempo.
Algunos aspectos clave de la epistemología matemática incluyen: primero, la axiomatización es
una cuestión fundamental, si los axiomas de las matemáticas son verdades autoevidentes o si
son asunciones arbitrarias. Los matemáticos han tratado de encontrar conjuntos mínimos de
axiomas que sean sucientes para derivar el resto de los resultados matemáticos. El intento de
axiomatizar la matemática tiene como objetivo establecer un sistema coherente y consistente.
En el caso de la geometría euclídea elemental, este problema se convertirá en una preocupación
central de su inminente abordaje axiomático: investigar qué axiomas de la geometría son
necesarios para permitir la introducción de coordenadas numéricas, y trazar así un puente entre
las geometrías sintéticas y las geometrías analíticas (Giovannini, 2015, p. 42).
Tercero, están los intuicionistas, como Luitzen Egbertus Jan Brouwer, rechazan la idea de que
los objetos matemáticos tienen una existencia independiente de la mente humana. Desde esta
perspectiva, los objetos matemáticos son construcciones mentales que surgen de la intuición
y la experiencia sensorial. Solo se consideran válidos los objetos matemáticos que pueden
ser construidos de manera nita a través de procesos mentales. “Según los intuicionistas, la
matemática es esencialmente una actividad creativa de la mente humana. No existen verdades
matemáticas independientes de nosotros que estén esperando ser descubiertas; más bien, se
crean a través de las intuiciones y acciones mentales” (Vargas, 2023, p. 6).
Cuarto, se señala el constructivismo como similar al intuicionismo en el sentido de que también
enfatiza la construcción activa de objetos matemáticos, pero no necesariamente restringe su
validez a procesos nitos. Desde esta perspectiva, los objetos matemáticos son construcciones
mentales, pero se permite un rango más amplio de métodos de construcción. Sin embargo, se
insiste en que todas las armaciones matemáticas deben ser demostradas constructivamente,
es decir, que debe ser posible construir un objeto matemático que satisfaga las condiciones
establecidas en el enunciado.
Y por último están los nominalistas niegan la existencia de objetos matemáticos independientes.
Según esta perspectiva, los términos matemáticos son meros nombres o etiquetas utilizados para
describir patrones y relaciones en el mundo físico, pero no tienen una existencia real fuera del
lenguaje y la mente humana. Los nominalistas pueden considerar que las matemáticas son útiles
y poderosas herramientas para modelar el mundo, pero no creen en la existencia de un reino
platónico de entidades matemáticas.
Para Guirado (2016), los defensores del Nominalismo Moderado reconocen que las matemáticas
desempeñan un papel importante en la ciencia, pero discrepan con el platonismo al armar que
este último no puede explicar o beneciarse de dicho hecho. Según ellos, el hecho de que las
teorías más sólidas no se presten fácilmente a la nominalización no justica creer en la existencia
de entidades matemáticas.
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Segundo está la demostración matemática, es el proceso de establecer la verdad de una
armación matemática a través de una serie de pasos lógicos a partir de axiomas y resultados
previamente demostrados. La epistemología de la demostración se pregunta qué constituye
una demostración válida y cómo podemos estar seguros de que una demostración es correcta.
Según Murillo “los principales métodos de demostración que, en general, servirán para vericar si
una proposición lógica es verdadera y, con ello, determinar la validez de un argumento” (Murillo,
2010, p. 99).
Tercero, la inducción matemática es un método de razonamiento utilizado para probar armaciones
universales sobre los números naturales. La epistemología de la inducción matemática examina
los fundamentos lógicos de este método y cómo se puede justicar la validez de las conclusiones
obtenidas a través de él.
“El método de inducción matemática se utiliza para demostrar que una proposición de la forma
( ) [P(n)]
es verdadera. Para esto, basta demostrar que
1. P(0) es verdadera.
2. Si P(n) es verdadera, entonces P(n+1) es verdadera”. (Murillo Tsijli, 2010, p. 276)
Aunque las matemáticas son a menudo consideradas como una disciplina puramente abstracta,
también se aplican en la ciencia y la ingeniería para modelar fenómenos del mundo real. La
epistemología de la matemática aplicada se pregunta ¿Cómo se asegura que los modelos
matemáticos representan con precisión los fenómenos observados en la realidad? La epistemología
de las matemáticas se ocupa de cómo se justica el conocimiento matemático, ¿qué métodos
se utilizan para adquirir ese conocimiento y cómo se puede estar seguro de la verdad de los
resultados matemáticos?
Lógica matemática
Estudia las reglas y estructuras del razonamiento matemático. Incluye la lógica formal, la teoría de
conjuntos y la teoría de la demostración. La lógica matemática es una rama de las matemáticas y
la losofía que estudia los principios y métodos de razonamiento válidos, así como las estructuras
formales del pensamiento. Su objetivo es proporcionar un marco riguroso para el estudio del
razonamiento y la demostración en matemáticas, así como en otros campos donde la lógica sea
relevante, como la losofía, la informática y la inteligencia articial. Algunos aspectos importantes
de la lógica matemática incluyen:
Primero la lógica formal es un sistema formalizado de reglas y símbolos que se utilizan para
representar y analizar el razonamiento válido. Se basa en el uso de símbolos para representar
proposiciones, conectores lógicos (como AND, OR, NOT), cuanticadores (como “para todo” y
“existe”) y reglas de inferencia. La lógica formal se utiliza para estudiar la validez de argumentos
y demostraciones.
Según Barker “la lógica, o sea el estudio crítico del razonamiento, es una materia que tiene a la
vez un valor teórico y práctico” (Barker, 1991, p. 1). También arma que “el buen razonamiento es
una habilidad de gran complejidad, pues exige un juicio prudente y conocimientos muy amplios
respecto al tema sobre el que vamos a reexionar” (Barker, 1991, p. 2).
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Filosofía de la matemática aplicada
Son las cuestiones relativas a la aplicación de las matemáticas en otros campos del conocimiento
y en la vida cotidiana. Esta área de estudio examina las relaciones entre las matemáticas y el
mundo físico, así como las implicaciones losócas de usar las matemáticas como herramientas
para comprender y manipular la realidad. Las matemáticas aplicadas a menudo involucran
la abstracción y generalización de conceptos y estructuras matemáticas para modelar una
variedad de situaciones del mundo real. La losofía de la matemática aplicada se pregunta,
¿cómo justicar estas abstracciones y cuándo son apropiadas para una aplicación particular?
También aborda cuestiones relacionadas con la relación entre modelos matemáticos y realidad,
la validez y vericación de los modelos, las implicaciones éticas y sociales del uso de modelos
matemáticos, y el papel de la creatividad en la aplicación de las matemáticas.
Segundo la teoría de modelos es una rama de la lógica matemática que se centra en el estudio
de las estructuras matemáticas que satisfacen ciertas armaciones o axiomas. Los modelos se
utilizan para interpretar los enunciados de un lenguaje formal y determinar si son verdaderos o
falsos en ese modelo. La teoría de modelos es fundamental para el estudio de la consistencia y
la completitud de sistemas axiomáticos.
Tercero la teoría de la computabilidad es una rama de la lógica matemática que estudia los
límites de lo que puede ser calculado de manera algorítmica. Se ocupa de denir y estudiar
los conceptos de computabilidad y decidibilidad, así como de explorar las relaciones entre
diferentes modelos de computación, como las máquinas de Turing y los sistemas recursivos.
Cuarto, la teoría de la demostración es una rama de la lógica matemática que estudia las
propiedades y estructuras de las demostraciones matemáticas. Se trata de cuestiones como la
consistencia y la completitud de los sistemas axiomáticos, así como de la formalización de la
noción de prueba matemática.
Y por último, la lógica no clásica, además de la lógica clásica basada en el principio del
tercero excluido y la ley de la doble negación, existen diversas formas de lógica no clásica
que exploran diferentes enfoques para el razonamiento válido. Estos incluyen la lógica modal,
la lógica borrosa, la lógica temporal y la lógica cuántica, entre otras. La lógica matemática
proporciona un marco formal para el estudio del razonamiento válido y la demostración en
matemáticas y otros campos relacionados.
Filosofía de la computación y la matemática computacional
Esta área de estudio se encuentra en la intersección de la losofía, las matemáticas, la informática
y la teoría de la computación, y aborda una variedad de cuestiones fundamentales sobre la
naturaleza de la computación y su relación con la realidad. La computadora es un conjunto
de estas unidades básicas, unidad en red, tiene una entrada y salida eléctrica global, en una
computadora que efectué adicciones; la red estará diseñada de tal modo que, cuando dos
entradas eléctricas correspondan a dos números, la salida eléctrica correspondientes al número
que sea la suma de los dos (Barker, 1991, p. 113).
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Filosofía de la matemática escolar
Se concentra en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, así como en las implicaciones
losócas de los métodos pedagógicos y los currículos matemáticos. También se centra en los
aspectos losócos relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en
el contexto educativo. Esta área de estudio examina las teorías subyacentes, los enfoques
pedagógicos, los métodos de evaluación y los objetivos de la enseñanza de las matemáticas
en las escuelas.
Ruiz (2021) señala, fundamentalmente, el docente tiene que estar consciente de que la
educación se adecua al contexto temporal que se presente, es evidente como los niños utilizan
la tecnología mejor que muchos adultos estudiados, esto se debe a que los niños y adolescentes
se encuentran enmarcados como nativos digitales (p. 5).
La losofía de las matemáticas escolares aborda una variedad de cuestiones fundamentales
relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en el entorno escolar.
Examina los objetivos, enfoques pedagógicos, roles del profesor y del estudiante, métodos de
evaluación, equidad y acceso, y la relación entre las matemáticas escolares y las matemáticas
en otros contextos.
Conclusión
La indagación losóca en las matemáticas abarca una amplia gama de temas,
desde cuestiones ontológicas abstractas sobre la existencia de entidades
matemáticas hasta consideraciones prácticas sobre su aplicación e implicaciones
pedagógicas. A través de los lentes de la losofía, se obtiene una comprensión
de la naturaleza del conocimiento matemático, las consideraciones éticas en
torno a su aplicación y los métodos mediante los cuales se enseña y aprende.
Al involucrarse con estas dimensiones losócas, los matemáticos, educadores y
cientícos computacionales pueden navegar el terreno complejo de la investigación
matemática con mayor perspicacia y aprecio por las amplias implicaciones de su
trabajo.
La losofía de la matemática computacional explora cuestiones relacionadas con la naturaleza
de los problemas algorítmicos y la computabilidad, así como los límites de lo que puede ser
calculado de manera eciente por una computadora. También se señala que la inteligencia
articial y el aprendizaje automático son campos de la informática que se ocupan de la creación
de sistemas que pueden aprender de los datos y tomar decisiones de manera autónoma.
La idea de los autómatas ha fascinado la mente humana desde tiempos inmemoriales. Dentro
del contexto se remonta a Renato Descartes en el siglo XVII. Este lósofo y cientíco francés,
estuvo interesado en los autómatas capaces de imitar el cuerpo humano, aunque rechazó la
posibilidad de simular la inteligencia humana. Al nal de su Tratado del Hombre, hace una lista
de funciones simulables mecánicamente, hasta la impresión de sus ideas en el plano del sentido
común y en el de la imaginación, la retención o la grabación de esas ideas en la memoria
(Rendueles Mata y Dreher Grosch, 2007, p. 165).
La losofía de la computación y la matemática computacional examina temas como la naturaleza
de la computación, la eciencia y complejidad de los algoritmos, el modelado y la simulación,
la inteligencia articial, la ética y la responsabilidad en la computación, y la relación entre la
computación y la realidad.
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Artículo arbitrado por:
Investigador Sergio Gatica, experto en Matemática y Dra. Claudia Villela quien realizó la
validación de la información y la revisión de corrección y estilo.
Sobre el autor
Juan Carlos Ruiz Castillo
Doctorando en Investigación, Maestría en Ciencias en Didáctica de la Matemática con mención
honoríca Magna Summa Cum Laude, Maestría en Ciencias en Formación Docente, Licenciatura
en la Enseñanza de la Matemática y la Física, Profesor en Enseñanza Media Especializado en
Física-Matemática, egresado de la Universidad de San Carlos de Guatemala. Experiencia en
investigaciones: publicación de diversos estudios en distintas revistas nacionales e internacionales,
amplia experiencia en la Enseñanza en el nivel Diversicado y Universitario. Profesor de la Cátedra
de Matemática en EFPEM.
Financiamiento de la investigación
Declaración de intereses
Declaración de consentimiento informado
Financiada con recursos propios.
Declaro no tener ningún conicto de intereses que puedan haber inuido en los resultados
obtenidos o las interpretaciones propuestas.
Declaro que el estudio se realizó respetando el Código de ética y buenas prácticas editoriales
de publicación.
Derechos de autor
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